Progressão geométrica no excel

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Progressão geométrica no excel

Exercícios de P.G

 1)Qual o primeiro termo da P.G. em que a3 = 24 e a7 = 384?

 2)Quantos termos tem a P.G. (3,6,12, . . . ,3072)?

 3)Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. (– 8,– 16,– 32, . . . ,an).

 4)Numa P.G. conhecemos S8 = 1530 e a razão q = 2. Calcule o quinto termo.

 5)Quantos termos tem a P.G. (3,6,12, . . . ,3072)?

Respostas dos exercícios sobre o filme Enigmas de um crime

1)Sequência de Fibonacci

O algoritmo recursivo que define a série aplica-se, na prática, conforme a regra sugere: começa-se a série com 0 e 1; a seguir, obtém-se o próximo número de Fibonacci somando-se os dois anteriores e, assim, sucessiva e infinitamente. Os primeiros Números de Fibonacci (sequência A000045

na OEIS) para n = 0, 1,… são 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946…


2)Lógica Matemática

Não existe tal verdade fora da matemática! Não há modo de achar uma única verdade absoluta, um argumento irrefutável que ajude a responder as questões da humanidade!

A filosofia, portanto, está morta! Pois sobre aquilo que não se pode falar, então, nós devemos nos calar.

3) Círculos, peixe, triângulo e triângulo, formam...

 

      círculo            peixe          triangulo    triangulo de bolas

A sequência formada no filme "Enigmas de um Crime.

As duas primeiras possuem a regularidade circular, que tem a ver com a última. A última imagem tem a ver com a terceira, por causa do triângulo por ela formado.

 

4)Axioma e Teorema

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem logicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.

 Exemplos:

1. 
2. 
3. 

Teorema é um termo introduzido por Euclides, em Elementos, para significar "afirmação que pode ser provada". Em grego, originalmente significava "espetáculo" ou "festa". Atualmente, é mais comum deixar o termo "teorema" para apenas certas afirmações que podem ser provadas e de grande "importância matemática", o que torna a definição um tanto subjetiva.
Provar teoremas é a principal atividade dos matemáticos.

Exemplos: Teorema de Pitagoras

         5)O objetivo do estudante....

   Ao treinar tênis na parede com as marcações, ele sabia que a cada vez que a bola batia na parede havia uma lógica, e que assim ele sempre saberia onde a bola batia e em qual direção ela retornava para ele.                               6)Séries lógicas É uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Organon. Ele divide a lógica em formal e material. 7)Sequencias Anexando dois quadrados com lado=1, teremos um retângulo 2x1, sendo o lado maior igual à soma dos lados dos quadrados anteriores. Anexamos agora outro quadrado com lado=2 (o maior lado do retângulo 2x1) e teremos um retângulo 3x2. Continuamos a anexar quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos retângulos obtidos no passo anterior. A sequência dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a sequência de Fibonacci.

 

Ao examinar o Triângulo Chinês (nosso conhecido Triângulo de Pascal) dos anos 1300, Fibonacci observou que esta sequência numérica aparecia naquele documento. O aparecimento se dava através da soma de vários números binomiais localizados acima e ao lado direito do número anterior.

Quando temos um segmento de reta com extremidades A e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em média e extrema razão.

  

 

 

8)resposta

A trama é bem legal,e tambem muito divertido ao mesmo tempo

a sequencia de assassinatos é bem eletrizantes...

 

 

                                                                                        

Progressão Geométrica (P.G.)

Progressão Geométrica 

Uma progressão geométrica (P.g. ou P.G.) é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante . Esta constante é chamada razão da progressão geométrica. A letra q foi escolhida por ser inicial da palavra quociente.

Definição por recursão e fórmula do termo geral

Costuma-se denotar por a_n n-ésimo termo de uma progressão geométrica. Assim, a progressão fica totalmente definida pelo valor de seu termo inicial a₁ e sua razão q.

 

Soma dos termos de uma P.G.

A soma dos termos de uma P.G., a partir do primeiro, é definida por:

                                                               

Soma dos termos de uma P.A. finita

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
                    2
 a₁ é o primeiro termo;

a_n é o último termo;

n é o número de termos;

S_n é a soma dos n termos.
 

Exemplo 2:

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a ₈ = 79.

Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a ₈ = 79

Sn = (a1 + an) . n
                2

324 = (a1 + 79) . 8
                     2

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.

a n = a₁ + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
 7
r = 11

                                Exercícios

1. Verifique que a soma dos 30 primeiros termos da PA (2; 5; ...) é S30 = 1 365.

2. Hoje um atleta nada 500 metros e, nos próximos dias, deverá nadar uma mesma distância a mais do que nadou no dia anterior. No 15º dia, ele quer chegar a nadar 3 300 metros. Determine a distância que ele deverá nadar a mais por dia e a distância que deverá nadar no 10º dia.

                                           Exercício Resolvido 

1. Os termos da seqüência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se a_n, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa seqüência, então a₃₀ + a₅₅ é igual a? 

R: a_n = 10 + [(n + 1)/2] – 1 se n é ímpar

a_n = 8 + (n/2) – 1 se n é par

a₃₀ = 8 + (30/2) – 1 = 8 + 15 – 1 = 22

ea₅₅ = 10 + [(55 + 1)/2] – 1 = 37

a₃₀ + a₅₅ = 22 + 37 = 59

                              P.Alogar


A P.A tem muitas funções
todas importantes
O a1 vem primeiro porque é mais extravagante
todos querem aparecer mais só o r tem razão
n o número de termos fica sempre sem noção
Nunca podemos esquecer do nosso amigo
sn que é a soma dos termos dessa P.A contente
Temos que subtrair , somar ,dividir e multiplicar
e nunca deixar de P.Alogar...  





                                                                                                                                                     

Curiosidades sobre a Matemática!!

Você é capaz de somar os algarismos de 1 a 100 em poucos minutos?

   
 Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aos 10 anos de idade respondeu rapidamente 5.050 ao seu professor  surpreendendo-o pela sua grande habilidade na matemática. Em 1792, seu talento foi reconhecido pelo duque de Braunschweig, que lhe garantiu recursos para prosseguir o estudo de matemática. Gauss criou a geometria diferencial, e fez novas descobertas como a Lei da Reciprocidade Quadrática, que introduz o conceito de congruência e o Teorema Fundamental da Álgebra. Em 1801, publicou Disquisitiones Arithmeticae, seu tratado sobre a Teoria dos Números. No mesmo ano, calculou a órbita do asteróide Ceres. Com base em uma teoria que desenvolveu, previu corretamente onde e quando o Ceres deveria reaparecer. Morreu em 23 de fevereiro de 1855, sendo considerado o "Príncipe da Matemática".


Você sabia?
   
 Que o maior número primo conhecido é , que tem 2.098.960 dígitos e foi descoberto em 01/06/1999 por Nayan Hafratwala, um participante do GIMPS, um projeto cooperativo para procurar primos de mersenne.
    Que são conhecidos 51539600000 casas decimais de (Pi), calculadas por Y. Kamada e D. Takahashi, da Universidade de Tokio em 1997? E que em 21/08/1998 foi calculada pelo projeto Pihex a 5000000000000^a. casa binária de (Pi).

Exercícios sobre P.A

1) Qual o  número de termos de uma PA, cuja razão é 9, o primeiro termo é 4 e o último 58?

2) Encontre o termo geral da P.A. (2, 4, ...).

3) Qual é o  quinto termo da P.A. (4, 10, ...).




 4) Qual é o quinto termo da P.A. (8, 10, ...).

5) Qual é o ducentésimo número natural par ?